DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

DISTRIBUSI PELUANG

Distribusi peluang adalah sebuah daftar dari semua hasil yang mungkin muncul dari sebuah percobaan dan peluang yang berhubungan dengan setiap hasil. Ada 2 macam distribusi peluang yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

1. Distribusi Peluang Diskrit hanya dapat bernilai tertentu. Ciri-ciri utamannya adalah :

• Jumlah total peluangnya sama dengan 1
• Peluang dari suatu hasil adalah antara 0 sampai 1
• Hasilnya tidak terikat satu sama lain

2. Distribusi Peluang Kontinu dapat bernilai tak hingga dalam suatu jangkauan yang spesifik.

Nilai rata-rata dan variansi dari sebuah distribusi peluang dapat dihitung sebagai berikut :

Rumus Menghitung Rata-rata  :

Rumus Menghitung Variansi :

A.Pengertian  distribusi peluang diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang mencantumkan semuakemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik yang terhingga) dan juga peluangnya. Adapun macam-macam distribusi diskrit adalah sebagaiberikut 

1. Distribus Binomial

• Setiap hasil diklasifikasikan ke dalam satu dari dua kategori yang tidak terikat satu sama lain.
• Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan.
• Peluang sebuah sukses tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain.
• Setiap percobaannya saling bebas.
• Peluang Binomial dengan p = Peluang suskes dihitung dengan rumus sbb:

• Nilai Rata-rata nya :

• Nilai Variansinya :

2. Distribusi Hipergeometris

• Distribusi ini hanya memiliki dua hasil yang mungkin muncul.
• Peluang sebuah sukses tidak sama untuk setiap percobaan
• Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan
• Distribusi ini digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
• Sebuah Peluang Hipergeometris dihitung dengan menggunakan rumus sbb :

3. Distribusi Poisson

• Distribusi ini menjelaskan jumlah kejadian dari suatu peristiwa selama interval tertentu
• Peluang sebuah sukses terjadi secara proporsional dengan panjang intervalnya
• Interval-interval yang tidak saling tumpang tindih bersifat saling bebas
• Distribusi Poisson dihitung dengan rumus sbb :

3. Distribusi Multinominal

 

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan k macam hasil E1,E2,…,Ek dengan peluang P1,P2,…,Pk maka distribusi peluang dari peubah acak X1,X2,…,Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1,E2,…Ek dalam n usaha yang independen adalah:

 

 

4. Distribusi Hipergeometrik

 

Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

 

1. Secara acak diambil sebanyak n tanpa dikembalikan dari N benda.

2. k dari N benda diklasifikasikan sukses dan N -k diklasifikasikan gagal

 

Jumlah sukses X dari eksperimen hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik.

Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik disebut dengan distribusi hipergeometrik, dan nilainya dinotasikan dengan:

 

 

Distribusi peluang dari peubah acak hipergeometrik X,yaitu jumlah sukses dari

sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda, di mana terdapat k jumlah sukses dan N-k jumlah gagal adalah:

Rataan dan variansi dari distribusi hipergeometrik adalah

5.Distribusi Poisson

 

Eksperimen Poisson adalah eksperimen yang menghasilkan nilai numerik dari peubah acak X pada selang waktu yang tertentu atau daerah tertentu.

 

Contoh:

1) jumlah panggilan telepon dalam waktu 1 jam yang diterima oleh resepsionis

2) banyaknya pertandingan tenis yang terpaksa diundurkan karena terjadinya hujan selama musim hujan

3) banyaknya tikus dalams atu hektar sawah

4) banyaknya salah ketik dalam satu halaman

 

Sifat-sifat proses Poisson:

1. Jumlah hasil yang terjadi dalam satu selang waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang atau daerah lain. Proses Poisson dikatakan tidak mempunyai ingatan.

2. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak bergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang atau daerah tersebut.

3. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil yang terjadi dalam selang waktu yang pendek dapat diabaikan.

 

Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu –dinotasikan dengan t — adalah:

 

di mana λt adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah, dan e= 2.71828…

 

Rataan dan variansi dari distribusi Poisson p(x;λt) adalah sama, yaitu λt.

B. Distribusi Peluang  Kontinu

 

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua

nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung

titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila

fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas

himpunan semua bilangan riil R bila:

 

 

 

 

 

 

Distribusi peluang kontinu dibagi menjadi 4:

 

1.Distribusi Normal

 

Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat

empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

 

a.Distribusi normal terjadi secara alamiah.

b.Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah

ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

c.Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa

berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.

d.Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random

dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

 

Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut.

 

Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri

diantaranya:

a.Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.

b.Simetris terhadap rataan (mean).

c.Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnyatetapi tidak pernah memotong.

d.Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ

e.Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari -~ sampai + ~ sama dengan 1 atau 100 %.

 

 

Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal X bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :

 

Dengan menerapkan ketentuan diatas pada persamaan (1) maka fungsikepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z adalah:

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standard ini

dinyatakan sebagai :

2. Distribusi Student’s t

Distribusi student’s t adalah distribusi yang ditemukan oleh seorang mahasiswa yang tidak mau disebut namanya. Untuk menghargai hasil penemuannya itu, distribusinya disebut distribusi Student yang lebih dikenal dengan distribusi “t”, diambil dari huruf terakhir kata “student”.

Bentuk persamaan fungsinya :

Distribusi Peluang Kontinu

Berlaku untuk −∞< t < ∞ dan K merupakan tetapan yang besarnya tergantung dari besar n sedemikian sehingga luas daerah antara kurva fungsi itu dan sumbu t adalah 1. Bilangan n–1 disebut derajat kebebasan (dk). Yang dimaksudkan dengan dk ialah kemungkinan banyak pilihan dari sejumlah objek yang diberikan. Misalnya kita mempunyai dua objek yaitu A dan B. Dari dua objek ini kita hanya mungkin melakukan 1 kali pilihan saja, A dan B. Seandainya terpilih A maka B tidak usah dipilih lagi. Dan untuk itu dk = 2–1 = 1.

3. Distribusi Chi-Kuadrat

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah prosedur statistik inferensial. Distribusi chi-kuadrat merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk α= v/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala β=2

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah

Parameter n disebut angka derajat kebebasan (degree of freedom/df) dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif chi -kuadrat adalah :

Berikut ini diberikan rumusan beberapa ukuran statistik deskriptif untuk
distribusi chi-kuadrat.

4. Distribusi F

Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran
chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:

Keterangan:

Oleh karena itu sebaran F mempunyai dua derajat bebas yaitu V1 dan V2.

VARIABEL ACAK

VARIABEL ACAK

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.

Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Variabel Acak Diskrit 

Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

Contoh :

1. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah  koin (uang logam).
2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Variabel Acak Kontinu

Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh :

1. Usia penduduk suatu daerah.
2. Panjang beberpa helai kain.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).

Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh :

           Jumlah mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dalam sehari	Jumlah hari
0 1 2 3 4 5	54 117  72  42  12     3
Total	300

                Distribusi Probabilitas Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari

X	p(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Total	1,00

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.

1.    p(x) ³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1

2.    S p(x) = 1

Kita juga bisa menyajika distribusi probabilitas dengan menggunakan grafik.

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. 

Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X £ x) = X £ p(x)

Dimana

F(x) = P(X £ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh :

               Probabilitas Kumulatif dari jumlah mobil terjual dalam sehari

X	F(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,57 (= 0,18 + 0,39) 0,81 (= 0,18 + 0,39 + 0,24) 0,95 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14) 0,99 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04) 1,00 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)

Kita bisa menyajikan fungsi probabilitas kumulatif dalam bentuk grafik

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK KONTINU

Distribusi probabilitas variabel acak kontinu dinyatakan dengan fungsi f(x) dan sring disebut sebagai fungsi kepadatan atau fungsi kepadatan probabilitas dan bukan fungsi probabilitas. Nilai f(x) bisa lebih besar dari 1.

1. Distribusi Uniform

Suatu random variabel dikatakan terdistribusi secara uniform apabila

nilai probabilitanya proporsional terhadap panjang interval. Fungsi

Densitas Probabilita Uniform:

untuk a < x < b

= 0              untuk x lainnya

dimana a = batas bawah interval

b = batas atas interval

2. Distribusi normal / Gaussian

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable

random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Karakterisik Distribusi Probabilitas Normal :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis

4. Kurva berbentuk genta (μ= Md= Mo)2. Kurva berbentuk simetris

5. Kurva normal berbentuk asimptotis

6. Kurva mencapai puncak pada saat X= μ

7. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan

nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

3.  Distribusi Eksponensial

memainkan peranan penting yangmerupakan kasus distribusi gamma.

distribusi ini banyak digunakan dalam bidang teknik.

rumus: